파이썬 Sympy 기호수학 - 4. Legendre 다항식

SymPy 기호수학 - 4. Legendre 다항식¶

SymPy Tutorial

sympy 라이브러리를 불러오고, 사용할 기호 변수를 선언한다. 출력을 LaTex 수식으로 나타내고, 맷플롯립 모듈을 불러온다.

In [1]:

from sympy import *
          
x, y, z, t = symbols('x y z t')
f, g, h = symbols('f, g, h', cls=Function)

init_printing()
%matplotlib inline 

Legendre 방정식¶

Legendre 방정식은 다음과 같다.

$$\left( 1 \,-\, {{x}^{2}} \right) {y}'' \,\,-\,\, 2x \, {y}' \,\,+\, n \left( n+1 \right)\,y \,\,=\,\, 0 \qquad $$

$n$ 은 정수이다.

Legendre 방정식은 편미분 방정식을 구형 좌표계로 표현할 때 나타난다.

Legendre 방정식의 해는 거듭제곱급수 해법을 사용하여 구한다.

Legendre 방정식의 해를 $\, P_n (x) \,$ 로 나타내고, Legendre 다항식 (Legendre polynomial)이라 부른다.

$\qquad {{P}_{0}} \left( x \right) \,\,=\,\, 1$

$\qquad {{P}_{1}} \left( x \right) \,\,=\,\, x$

$\qquad {{P}_{2}} \left( x \right) \,\,=\,\, \tfrac{1}{2}\, \left( \,3{{x}^{2}}-\, 1\, \right)$

$\qquad {{P}_{3}} \left( x \right) \,\,=\,\, \tfrac{1}{2} \,\left( \,5{{x}^{3}}- \,3x\, \right)$

$\qquad {{P}_{4}} \left( x \right) \,\,=\,\, \tfrac{1}{8} \,\left( \,35{{x}^{4}}- \,30{{x}^{2}}+ \,3\, \right)$

$\qquad \quad \quad \,\,\,\, \vdots $

$P_n (1) = 1 \,$ 되도록 계수를 결정한다.

일반적인 표현으로 나타내면

$${{P}_{n}}\left( x \right) \,\,\,=\,\, \sum\limits_{m \,=\, 0}^{M}{\,{{\left( -1 \right)}^{m}}\,}\, \frac {\left( 2n-2m \right) !} {{{2}^{n}} \, m !\,\,\left( n-m \right) !\,\,\left( n-2m \right) !}\,\,{{x}^{n -2m}} $$

$$\qquad \qquad M\,\,=\,\,\left\{ \begin{align} & \,\,\,\,\,\,\frac{n}{2} \qquad \qquad n\,\,=\,\,\,0,\,\,2,\,\,4, \,\cdots \\ & \,\,\,\frac{n-1}{2} \qquad \quad n\,\,=\,\,\,1,\,\,3,\,\,5, \,\cdots \\ \end{align} \right.$$

$P_0(x), \, P_1(x), \, P_2(x), \, P_3(x), \, P_4(x) \, $ 를 확인해 본다.

legendre(n,x) 는 $n$차 Legendre 다항식을 구해준다.

In [2]:

legendre( 0, x )

Out[2]:

$$1$$

In [3]:

legendre( 1, x )

Out[3]:

$$x$$

In [4]:

legendre( 2, x )

Out[4]:

$$\frac{3 x^{2}}{2} - \frac{1}{2}$$

In [5]:

legendre( 3, x )

Out[5]:

$$\frac{5 x^{3}}{2} - \frac{3 x}{2}$$

In [6]:

legendre( 4, x )

Out[6]:

$$\frac{35 x^{4}}{8} - \frac{15 x^{2}}{4} + \frac{3}{8}$$

$P_0(x), \, P_1(x), \, P_2(x), \, P_3(x), \, P_4(x) \, $ 를 그래프로 그려보면

In [7]:

plot( legendre(0,x), legendre(1,x), legendre(2,x), legendre(3,x), legendre(4,x), 
     xlim=(-1.1,1.1), ylim=(-1.1,1.1) )

Out[7]:

<sympy.plotting.plot.Plot at 0x5a858d0>

버금 Legendre 방정식 (associated Legendre equation)¶

버금 Legendre 방정식은 다음과 같다.

$$\left( 1 \,-\, {{x}^{2}} \right)\,{y}'' \,\,-\,\, 2x\,{y}' \,+\, \left[\, n\left( n+1 \right) \,-\, \frac{{m^{2}}}{1\,\,-\,\,{{x}^{2}}}\, \right] y \,\,=\,\, 0$$

$n, m$ 은 정수이다.

버금 Legendre 방정식은 양자역학에서 나타난다.

버금 Legendre 방정식의 해는 $\, P_n ^{m} (x) \,$ 로 나타내고, 버금 Legendre 함수라고 한다.

assoc_legendre(n,m,x) 는 $(n,m)$차 버금 Legendre 함수를 구해준다.

In [8]:

assoc_legendre(0,0, x )

Out[8]:

$$1$$

In [9]:

assoc_legendre(1,0, x )

Out[9]:

$$x$$

In [10]:

assoc_legendre(1,1, x )

Out[10]:

$$- \sqrt{- x^{2} + 1}$$