파이썬 Sympy 기호수학 - 기초

Sympy 사용법¶

SymPy Tutorial

sympy 라이브러리를 불러온다

In [1]:

from sympy import *

수식 출력을 LaTex 수식으로 보이게 한다.

In [2]:

init_printing()

Rational( 분자, 분모 ) 함수는 유리수를 분수로 나타낸다.

In [3]:

Rational(1,2)

Out[3]:

$\displaystyle \frac{1}{2}$

원주율은 pi 로 표기한다.

In [4]:

pi

Out[4]:

$\displaystyle \pi$

N() 함수는 수치값으로 계산한다.

In [5]:

N(pi)

Out[5]:

$\displaystyle 3.14159265358979$

evalf() 메소드로 수치값을 계산할 수도 있다.

In [6]:

pi.evalf()

Out[6]:

$\displaystyle 3.14159265358979$

복소수는 대문자 $\text I$ 로 나타낸다.

In [7]:

I

Out[7]:

$\displaystyle i$

In [8]:

1 + 2*I

Out[8]:

$\displaystyle 1 + 2 i$

Symbol 함수로 기호변수 $t$ 를 선언한다.

In [9]:

t = Symbol('t')

symbols 함수는 한 번에 여러 개의 기호변수를 선언할 수 있어서 더 편리하다.

In [10]:

x, y, z = symbols('x y z')

기호 변수로 수식을 나타낼 수 있다.

In [11]:

x**2 + 1

Out[11]:

$\displaystyle x^{2} + 1$

수식을 저장하면, 나중에 참조하거나 사용할 수 있다.

수식이 저장되는 변수는 기호변수가 아니므로, 미리 선언하지 않는다.

In [12]:

expr = x**2 + 1
expr

Out[12]:

$\displaystyle x^{2} + 1$

subs() 메소드로 기호변수에 특정한 값을 대입하거나, 다른 기호변수로 대체할 수 있다.

In [13]:

expr.subs(x,1)

Out[13]:

$\displaystyle 2$

$x$ 를 $y$ 로 바꾸려면

In [14]:

expr.subs(x,y)

Out[14]:

$\displaystyle y^{2} + 1$

_ 는 바로 이전의 출력을 가리킨다.

In [15]:

_

Out[15]:

$\displaystyle y^{2} + 1$

In [16]:

_.subs(y,2)

Out[16]:

$\displaystyle 5$

여러 개의 변수에 값을 대입할 수 있다.

In [17]:

expr = x**2 + 2*y*z + 1
expr

Out[17]:

$\displaystyle x^{2} + 2 y z + 1$

In [18]:

expr.subs( [ (x,1), (y,2), (z,3) ] )

Out[18]:

$\displaystyle 14$

simplify() 함수는 수식을 간단히 만들어준다.

In [19]:

simplify( cos(x)**2 + sin(x)**2 )

Out[19]:

$\displaystyle 1$

In [20]:

expr = x**2 + 5*x + 3*(x-1) + (x-1)**2
expr

Out[20]:

$\displaystyle x^{2} + 8 x + \left(x - 1\right)^{2} - 3$

In [21]:

simplify(expr)

Out[21]:

$\displaystyle 2 x^{2} + 6 x - 2$

이름이 비슷한 sympify() 함수는 문자열을 수식으로 바꾸어 준다. 사용자가 입력한 수식을 처리하는데 사용할 수 있다.

In [22]:

string = "x*exp(-y)+cos(x)"
sympify(string)

Out[22]:

$\displaystyle x e^{- y} + \cos{\left(x \right)}$

expand() 함수는 수식을 전개한다.

In [23]:

expand( (x-1)*(x-2) )

Out[23]:

$\displaystyle x^{2} - 3 x + 2$

factor() 함수는 수식을 인수분해 한다.

In [24]:

factor( x**3 - 8 )

Out[24]:

$\displaystyle \left(x - 2\right) \left(x^{2} + 2 x + 4\right)$

collect() 함수는 수식을 특정 변수의 다항식으로 정리한다.

In [25]:

expr = x*y + x - 3 + 2*x**2 - z*x**2 + x**3
expr

Out[25]:

$\displaystyle x^{3} - x^{2} z + 2 x^{2} + x y + x - 3$

$x$ 의 다항식으로 나타내려면

In [26]:

collect(expr, x)    

Out[26]:

$\displaystyle x^{3} + x^{2} \left(2 - z\right) + x \left(y + 1\right) - 3$

coeff() 메소드는 수식의 특정항의 계수를 반환한다.

In [27]:

expr.coeff(x,2)       # x**2 항의 계수

Out[27]:

$\displaystyle 2 - z$

cancel() 함수는 분수의 분자와 분모를 약분하여 간략하게 만든다.

In [28]:

expr = (x**2 + 2*x + 1)/(x**2 + x)
expr

Out[28]:

$\displaystyle \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x}$

In [29]:

cancel(expr)

Out[29]:

$\displaystyle \frac{x + 1}{x}$

또한, cancel() 함수는 분수식들을 통분하여, 하나의 분수식으로 만들어준다.

In [30]:

expr = 1/x + (3*x/2 - 2)/(x - 4)
expr

Out[30]:

$\displaystyle \frac{\frac{3 x}{2} - 2}{x - 4} + \frac{1}{x}$

In [31]:

cancel(expr)

Out[31]:

$\displaystyle \frac{3 x^{2} - 2 x - 8}{2 x^{2} - 8 x}$

apart() 함수는 분수식을 부분 분수들로 쪼개어 준다.

In [32]:

expr = 1 / x / (x-1)
expr

Out[32]:

$\displaystyle \frac{1}{x \left(x - 1\right)}$

In [33]:

apart(expr)

Out[33]:

$\displaystyle \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x}$

방정식은 Eq( 왼쪽, 오른쪽 ) 으로 표현한다

In [34]:

Eq( 2*x, 1 )

Out[34]:

$\displaystyle 2 x = 1$

방정식 자체를 변수에 저장하여, 나중에 참조할 수 있다.

In [35]:

eqn = Eq( 2*x, 1 )
eqn

Out[35]:

$\displaystyle 2 x = 1$

함수의 그래프¶

plot() 함수로 그래프를 그린다. 함수들과 x축, y축의 범위를 지정한다.

In [36]:

plot( x+1, x**2, xlim=(-2,2), ylim=(-1,3) )

Out[36]:

<sympy.plotting.backends.matplotlibbackend.matplotlib.MatplotlibBackend at 0x2198fb42990>

미분¶

diff() 함수로 도함수를 구한다.

In [37]:

diff( cos(x), x )

Out[37]:

$\displaystyle - \sin{\left(x \right)}$

2차 도함수

In [38]:

diff( x**2, x, x )

Out[38]:

$\displaystyle 2$

마지막 인자에 2 를 기입하여도 같은 결과를 얻는다.

In [39]:

diff( x**2, x, 2 )

Out[39]:

$\displaystyle 2$

Derivative() 함수는 도함수를 표현하는 용도에 사용된다.

In [40]:

deriv = Derivative( exp(-x**2), x )
deriv

Out[40]:

$\displaystyle \frac{d}{d x} e^{- x^{2}}$

doit() 메소드로 연산을 수행하여 결과를 얻을 수 있다.

In [41]:

deriv.doit()

Out[41]:

$\displaystyle - 2 x e^{- x^{2}}$

도함수의 표현과 그 결과를 수식으로 표현하여 보자.

In [42]:

Eq( deriv, deriv.doit() )

Out[42]:

$\displaystyle \frac{d}{d x} e^{- x^{2}} = - 2 x e^{- x^{2}}$

diff() 함수로 편도함수를 구할 수 있다.

In [43]:

diff( exp(x*y), x, y )

Out[43]:

$\displaystyle \left(x y + 1\right) e^{x y}$

편도함수는 대부분의 경우에 미분의 순서에 관계 없다.

In [44]:

diff( exp(x*y), y, x )

Out[44]:

$\displaystyle \left(x y + 1\right) e^{x y}$

Derivative() 함수로 편도함수를 표현해 본다.

In [45]:

deriv = Derivative( exp(x*y), x, y )
deriv

Out[45]:

$\displaystyle \frac{\partial^{2}}{\partial y\partial x} e^{x y}$

doit() 메소드로 실행하여 결과를 얻는다.

In [46]:

deriv.doit()

Out[46]:

$\displaystyle \left(x y + 1\right) e^{x y}$

적분¶

integrate() 함수로 부정적분을 수행한다.

In [47]:

integrate( 1/x, x )

Out[47]:

$\displaystyle \log{\left(x \right)}$

적분 상수는 따로 출력되지 않는다 !

integrate() 함수로 정적분을 구할 수 있다. 적분 범위는 두번째 인자로 설정한다.

$$\int_{0}^{1} x^2 dx$$

In [48]:

integrate( x**2, (x,0,1) )

Out[48]:

$\displaystyle \frac{1}{3}$

$$\int_{0}^{\infty}e^{-x^2} dx$$

무한대는 소문자 o 를 두개 사용하여 oo 로 나타낸다.

In [49]:

integrate( exp(-x**2), (x,0,oo) )

Out[49]:

$\displaystyle \frac{\sqrt{\pi}}{2}$

이중적분을 구한다.

$$\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(x^2+y^2)} dx dy$$

In [50]:

integrate( exp(-x**2-y**2), (x,-oo,oo), (y,-oo,oo) )

Out[50]:

$\displaystyle \pi$

Integral() 함수는 적분을 수학적으로 표현하는데 사용된다.

In [51]:

integ = Integral( log(x) )
integ

Out[51]:

$\displaystyle \int \log{\left(x \right)}\, dx$

doit() 메소드로 실행 결과를 얻는다.

In [52]:

Eq( integ, integ.doit() )

Out[52]:

$\displaystyle \int \log{\left(x \right)}\, dx = x \log{\left(x \right)} - x$

함수의 극한¶

limit 함수로 극한을 구한다.

$$\lim_{x \to 0 }\frac{\sin(x)}{x}$$

In [53]:

limit( sin(x)/x, x, 0 )

Out[53]:

$\displaystyle 1$

방정식의 해¶

다음 방정식에 대하여

$$ 2 x = 1$$

In [54]:

eqn = Eq( 2*x, 1 )
eqn

Out[54]:

$\displaystyle 2 x = 1$

solve() 함수로 방정식의 해를 구한다.

In [55]:

solve( eqn, x )

Out[55]:

$\displaystyle \left[ \frac{1}{2}\right]$

방정식의 우변이 0 인 형태의 경우는, 좌변의 수식만 기입하여 해를 구할 수도 있다.

$$ 2 x - 1 = 0$$

In [56]:

solve( 2*x-1, x )       

Out[56]:

$\displaystyle \left[ \frac{1}{2}\right]$

괄호를 벗기려면, 리스트로 표시된 결과의 0번 원소를 취한다.

In [57]:

_[0]

Out[57]:

$\displaystyle \frac{1}{2}$

이차방정식의 근의 공식

$$ a x^2 + b x + c = 0$$

In [58]:

a, b, c = symbols('a, b, c')
eqn = Eq( a*x**2 + b*x + c, 0 )
eqn

Out[58]:

$\displaystyle a x^{2} + b x + c = 0$

In [59]:

solve( eqn, x )

Out[59]:

$\displaystyle \left[ \frac{- b - \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}, \ \frac{- b + \sqrt{- 4 a c + b^{2}}}{2 a}\right]$

기호변수는 암묵적으로 복소수로 취급되므로, 복소근도 구해진다.

In [60]:

solve( Eq( x**2, -1 ), x )

Out[60]:

$\displaystyle \left[ - i, \ i\right]$

연립 방정식의 해¶

$$x-y+2=0$$

$$x+y-3=0$$

방정식과 변수를 리스트로 묶어서 인수를 전달한다.

In [61]:

solve( [ x-y+2, x+y-3 ], [x,y] )

Out[61]:

$\displaystyle \left\{ x : \frac{1}{2}, \ y : \frac{5}{2}\right\}$

튜플로 묶어도 같은 결과를 얻는다.

In [62]:

solve( ( x-y+2, x+y-3 ), (x,y) )

Out[62]:

$\displaystyle \left\{ x : \frac{1}{2}, \ y : \frac{5}{2}\right\}$

Taylor 급수¶

In [63]:

series( sin(x), x )

Out[63]:

$\displaystyle x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} + O\left(x^{6}\right)$

x의 차수를 원하는 값으로 설정할 수 있다. 다음 예와 같이 10차 이전까지의 급수를 나타내면

In [64]:

series( sin(x), x, n=10 )

Out[64]:

$\displaystyle x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} - \frac{x^{7}}{5040} + \frac{x^{9}}{362880} + O\left(x^{10}\right)$

급수를 계산에 활용하기 위해서는, 마지막 차수항 O(x) 를 제거해야 한다. 이를 위해 removeO 메소드를 사용한다.

In [65]:

Sin = series( sin(x), x, n=10 ).removeO()
Sin

Out[65]:

$\displaystyle \frac{x^{9}}{362880} - \frac{x^{7}}{5040} + \frac{x^{5}}{120} - \frac{x^{3}}{6} + x$

사인 함수를 9차의 다항식으로 근사하였다. 이 식에 $x= \pi /2 $ 를 대입하여 보면

In [66]:

Sin.subs( x, pi/2 ).evalf()

Out[66]:

$\displaystyle 1.00000354258429$

행렬¶

Matrix() 함수로 행렬을 만든다.

In [67]:

A = Matrix( [[1,2],[3,4]] )
A

Out[67]:

$\displaystyle \left[\begin{matrix}1 & 2\\3 & 4\end{matrix}\right]$

일차원 리스트로 만든 행렬은 열벡터로 표현된다.

In [68]:

Matrix( [1,2] )

Out[68]:

$\displaystyle \left[\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right]$

단위 행렬은 eye() 함수로 만든다.

In [69]:

eye(2)

Out[69]:

$\displaystyle \left[\begin{matrix}1 & 0\\0 & 1\end{matrix}\right]$

행렬의 곱은 A * B 이다.

In [70]:

A * eye(2)

Out[70]:

$\displaystyle \left[\begin{matrix}1 & 2\\3 & 4\end{matrix}\right]$

det() 함수로 행렬식(determinant)을 구한다.

In [71]:

A.det()

Out[71]:

$\displaystyle -2$

inv() 함수로 역행렬을 구한다.

In [72]:

A.inv()

Out[72]:

$\displaystyle \left[\begin{matrix}-2 & 1\\\frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\end{matrix}\right]$

행렬의 -1 승으로 역행렬을 구할 수도 있다.

In [73]:

A**-1

Out[73]:

$\displaystyle \left[\begin{matrix}-2 & 1\\\frac{3}{2} & - \frac{1}{2}\end{matrix}\right]$

행렬과 역행렬의 곱은 단위 행렬이다.

In [74]:

A * A.inv()

Out[74]:

$\displaystyle \left[\begin{matrix}1 & 0\\0 & 1\end{matrix}\right]$

행렬의 원소를 기호로 표기하여 수식적으로 다룰 수 있다.

In [75]:

a11, a12, a21, a22 = symbols('a11, a12, a21, a22')
A = Matrix( [[a11, a12],[a21, a22]] )
A

Out[75]:

$\displaystyle \left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{matrix}\right]$

In [76]:

A.det()

Out[76]:

$\displaystyle a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$

In [77]:

A.inv()

Out[77]:

$\displaystyle \left[\begin{matrix}\frac{a_{22}}{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}} & - \frac{a_{12}}{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}}\\- \frac{a_{21}}{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}} & \frac{a_{11}}{a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}}\end{matrix}\right]$

연립 방정식의 해¶

\begin{align} x-y &= -2 \\ x+y &= 3 \end{align}

행렬로 나타내면

$$ \mathbf {A x} = \mathbf b $$

In [78]:

A = Matrix( [[1,-1],[1,1]] )
b = Matrix( [-2,3] )

방정식의 해는

$$ \mathbf x = \mathbf A ^{-1} \mathbf b $$

In [79]:

x = A.inv() * b
x

Out[79]:

$\displaystyle \left[\begin{matrix}\frac{1}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right]$

$\qquad $ updated in 2025.11