파이썬 Sympy 기호수학 - 응용 2. 라플라스 변환

SymPy 사용법¶

SymPy Tutorial

sympy 라이브러리를 불러오고, 기호 변수를 선언한다. 출력을 LaTex 수식으로 나타내고, 맷플롯립 모듈을 불러온다.

In [1]:

from sympy import *
          
x, y, z, t = symbols('x y z t')
f, g, h = symbols('f, g, h', cls=Function)

init_printing()
%matplotlib inline 

라플라스 변환¶

함수 $f(t)$ 의 라플라스 변환은 다음과 같이 정의된다.

$$ F(s) = \int _0 ^{\infty} e ^{-st} f(t) dt $$

sympy의 라플라스 변환과 역변환 모듈을 도입한다. 변수 $s$ 와 상수들을 선언한다.

In [2]:

from sympy.integrals.transforms import laplace_transform
from sympy.integrals.transforms import inverse_laplace_transform

s = symbols('s')
a, ω = symbols('a ω', constant=True, positive=True)
n = symbols('n', constant=True, integer=True)

$f(t)=1$ 의 라플라스 변환

In [3]:

laplace_transform( 1, t, s )

Out[3]:

$\displaystyle \left( \frac{1}{s}, \ 0, \ \text{True}\right)$

첫번째 결과가 라플라스 변환이고, 나머지들은 수렴 조건과 관련된 사항들이다.

라플라스 변환만 출력하려면, noconds=True 옵션을 추가한다.

In [4]:

laplace_transform( 1, t, s, noconds=True )

Out[4]:

$\displaystyle \frac{1}{s}$

$f(t)=t^a$ 의 라플라스 변환

In [5]:

laplace_transform( t**a, t, s, noconds=True )

Out[5]:

$\displaystyle s^{- a - 1} \Gamma\left(a + 1\right)$

$f(t)=t^n$ 의 라플라스 변환

In [6]:

laplace_transform( t**n, t, s, noconds=True )

Out[6]:

$\displaystyle \frac{s^{- n} n!}{s}$

$f(t)=e^{at}$ 의 라플라스 변환

In [7]:

laplace_transform( exp(a*t), t, s, noconds=True )

Out[7]:

$\displaystyle \frac{1}{- a + s}$

Heaviside 계단 함수 $ \theta (t-a) $

In [8]:

Heaviside( t-a )

Out[8]:

$\displaystyle \theta\left(- a + t\right)$

Heaviside 계단 함수 $ \theta (t-a) $ 의 라플라스 변환

In [9]:

laplace_transform( Heaviside(t-a), t, s, noconds=True )

Out[9]:

$\displaystyle \frac{e^{- a s}}{s}$

Dirac 델타 함수 $ \delta (t-a) $

In [10]:

DiracDelta(t-a)

Out[10]:

$\displaystyle \delta\left(- a + t\right)$

Dirac 델타 함수 $ \delta (t-a) $ 의 라플라스 변환

In [11]:

laplace_transform( DiracDelta(t-a), t, s, noconds=True )

Out[11]:

$\displaystyle e^{- a s}$

$ \sin \omega t $ 의 라플라스 변환

In [13]:

laplace_transform( sin(ω*t), t, s, noconds=True )

Out[13]:

$\displaystyle \frac{ω}{s^{2} + ω^{2}}$

$ \cos \omega t $ 의 라플라스 변환

In [14]:

laplace_transform( cos(ω*t), t, s, noconds=True )

Out[14]:

$\displaystyle \frac{s}{s^{2} + ω^{2}}$

$ \frac 1 s $ 의 역변환은 Heaviside 계단함수

In [15]:

inverse_laplace_transform( 1/s, s, t )

Out[15]:

$\displaystyle \theta\left(t\right)$

$ \frac 1 {s^2} $ 의 역변환

In [16]:

inverse_laplace_transform( 1/s**2, s, t )

Out[16]:

$\displaystyle t \theta\left(t\right)$

$ \frac 1 {s^n} $ 의 역변환

In [17]:

inverse_laplace_transform( 1/s**n, s, t )

Out[17]:

$\displaystyle \frac{t^{n - 1} \theta\left(t\right)}{\left(n - 1\right)!}$

$ e^{-as} $ 의 역변환은 델타함수

In [18]:

inverse_laplace_transform( exp(-a*s), s, t )

Out[18]:

$\displaystyle \delta\left(a - t\right)$

In [19]:

inverse_laplace_transform( 1, s, t )

Out[19]:

$\displaystyle \delta\left(t\right)$

상미분방정식의 초기값 문제의 해를 구한다.

$$ y'' + y' + 9y = 0 , \qquad y(0) = 0.16, \quad y'(0)=0 $$

도함수에 대한 라플라스 변환의 공식은 다음과 같다.

$$ \mathscr{L} [ y(t) ] = Y(s) \\ \mathscr{L} [ y'(t) ] = sY(s) - y(0) \\ \mathscr{L} [ y''(t) ] = s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) $$

공식을 이용하여, 미분 방정식을 $Y(s)$ 에 대한 대수 방정식으로 기술한다.

In [20]:

y0 = 0.16 ; yp0 = 0

Y = Symbol('Y')
Ly = Y
Lyp = s*Y - y0
Lypp = s**2 * Y - s*y0 - yp0
eqn = Eq( Lypp + Lyp + 9*Ly, 0)
eqn

Out[20]:

$\displaystyle Y s^{2} + Y s + 9 Y - 0.16 s - 0.16 = 0$

$Y(s)$ 에 대한 방정식을 푼다.

In [21]:

solve( eqn, Y )

Out[21]:

$\displaystyle \left[ \frac{0.16 \left(s + 1.0\right)}{s^{2} + s + 9.0}\right]$

nsimplify() 함수를 사용하여, 수식의 숫자들을 유리수로 바꿔주면 역변환이 더 용이하다.

In [22]:

Y = _[0].nsimplify()
Y

Out[22]:

$\displaystyle \frac{4 \left(s + 1\right)}{25 \left(s^{2} + s + 9\right)}$

역변환을 구한다.

In [23]:

y = inverse_laplace_transform( Y, s, t )
y

Out[23]:

$\displaystyle \frac{4 \sqrt{35} \left(\sin{\left(\frac{\sqrt{35} t}{2} \right)} + \sqrt{35} \cos{\left(\frac{\sqrt{35} t}{2} \right)}\right) e^{- \frac{t}{2}} \theta\left(t\right)}{875}$

결과를 그래프로 그린다.

In [24]:

plot( y, xlim=(0,10) )

Out[24]:

<sympy.plotting.plot.Plot at 0x207a94d4a60>

Last updated in 2022.4